Найдите все натуральные n - такие, что найдётся простое число p, для которого выполняется равенство 6n²+p+9=n(2p+21)

Данное уравнение можно переписать в виде:

6n² + p + 9 = 2pn + 21n

или

6n² - 2pn + 21n - p - 9 = 0.

Для того чтобы найти все натуральные n, для которых существует простое число p, удовлетворяющее этому уравнению, можно воспользоваться следующим методом:

1. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно переменной p:

p = (2n ± √(4n² - 46n² + 421n + 4*9)) / 2

p = (2n ± √(4n² - 24n + 84 + 36)) / 2

p = (2n ± √(4(n² - 6n + 30))) / 2

p = n ± √(n² - 6n + 30).

2. Так как p - простое число, то √(n² - 6n + 30) должно быть целым числом. Это возможно только если n² - 6n + 30 = k², где k - целое число.

3. Решим уравнение n² - 6n + 30 = k²:

n² - 6n + 30 - k² = 0.

Дискриминант этого уравнения равен D = 36 - 4(30 - k²) = 4k² - 84. Так как D должен быть квадратом некоторого целого числа, то 4k² - 84 = m², где m - целое число.

4. Решим уравнение 4k² - 84 = m²:

4k² - m² = 84.

Это уравнение является диофантовым уравнением и его решениями являются пары целых чисел (k, m). Подставив их в предыдущие уравнения, мы найдем все натуральные n, для которых существует простое число p, удовлетворяющее исходному уравнению.