найдите все натуральные числа n такие что найдётся простое число p для которого выполняется равенство 6n^2+p+12=n(2p+27)

Данное уравнение можно переписать в виде:

6n^2 + p + 12 = 2pn + 27n

6n^2 - 2pn + p - 27n + 12 = 0

Для того чтобы найти все натуральные числа n, для которых существует простое число p, удовлетворяющее уравнению, нужно рассмотреть дискриминант квадратного уравнения:

D = (-2p)^2 - 46(p-27n+12) = 4p^2 - 24p + 288 - 24n

D = 4(p^2 - 6p + 72 - 6n)

Так как D должно быть полным квадратом, то p^2 - 6p + 72 - 6n должно быть квадратом целого числа. Но так как p - простое число, то p^2 - 6p + 72 - 6n = 0.

Таким образом, получаем уравнение:

p^2 - 6p + 72 - 6n = 0

Решив это уравнение, мы найдем все натуральные числа n, для которых существует простое число p, удовлетворяющее исходному условию.