Найдите все натуральные числа n-такие, что найдётся простое число р, для которого выполняется равенство 6n²+р+3=n(2p+9).

Данное уравнение можно переписать в виде:

6n² + p + 3 = 2np + 9n

6n² - 2np + 9n - p - 3 = 0

Для того чтобы найти все натуральные числа n, для которых существует простое число p, удовлетворяющее данному уравнению, нужно рассмотреть дискриминант квадратного уравнения.

D = (2n - 9)² + 4(p + 3)

Так как D должно быть полным квадратом, то (2n - 9)² должно делиться на 4, что возможно только при четных n. Также, так как p - простое число, то p + 3 нечетное, а значит D не может быть полным квадратом.

Следовательно, нет натуральных чисел n, для которых существует простое число p, удовлетворяющее данному уравнению.