Найдите все натуральные числа n -такие , что найдется простое число p , для которого выполняется равенство 6n^2 + p + 9 = n(2p + 21)

Данное уравнение можно переписать в виде:

6n^2 + p + 9 = 2pn + 21n

Перенесем все члены в левую часть:

6n^2 - 2pn + p + 9 - 21n = 0

Дискриминант этого уравнения должен быть полным квадратом, чтобы уравнение имело решение.

Дискриминант D = (-2p)^2 - 46(p + 9 - 21n) = 4p^2 - 24p - 144 + 504n

Так как D должен быть полным квадратом, то 4p^2 - 24p - 144 + 504n = k^2, где k - некоторое целое число.

Решая это уравнение относительно p, получим:

p^2 - 6p - 36 + 126n = (k/2)^2

p^2 - 6p + 9 - 45 + 126n = (k/2)^2

(p - 3)^2 - 45 + 126n = (k/2)^2

(p - 3)^2 = 45 - 126n + (k/2)^2

Таким образом, для каждого натурального числа n, для которого существует простое число p, удовлетворяющее данному уравнению, должно выполняться равенство (p - 3)^2 = 45 - 126n + (k/2)^2, где k - некоторое целое число.

Найдем все натуральные числа n, для которых такие простые числа p существуют.