Найдите произведение корней уравнения 2cdot 4^{x-3}-5cdot 2^{x-3}+2=0.

Для начала преобразуем уравнение:

24^(x-3) - 52^(x-3) + 2 = 0

22^(2(x-3)) - 52^(x-3) + 2 = 0

22^(2x-6) - 52^(x-3) + 2 = 0

22^(2x)2^(-6) - 52^x2^(-3) + 2 = 0

24^x1/64 - 52^x1/8 + 2 = 0

1/324^x - 5/82^x + 2 = 0

Теперь представим 4 в виде степени 2:

1/322^(2x) - 5/82^x + 2 = 0

Умножим обе части уравнения на 32:

2^(2x) - 20*2^x + 64 = 0

Пусть z = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

z^2 - 20z + 64 = 0

Найдем корни этого квадратного уравнения:

D = 20^2 - 4164 = 400 - 256 = 144

z1 = (20 + √144)/2 = (20 + 12)/2 = 16

z2 = (20 - √144)/2 = (20 - 12)/2 = 4

Теперь найдем значения x:

Для z1: 2^x = 16 => x = log2(16) = 4

Для z2: 2^x = 4 => x = log2(4) = 2

Таким образом, корни уравнения 24^(x-3) - 52^(x-3) + 2 = 0 равны 4 и 2.

Произведение корней равно 4*2 = 8.