Найдите порядок малости бесконечно малой функции α(x)=[ln (1+tg (x+10))]^3⋅[arcsin (x+10)]^6 относительно малой β(x)=x+10.

Для нахождения порядка малости функции α(x) относительно функции β(x) необходимо найти их отношение и выяснить, стремится ли это отношение к константе при x -> 0.

α(x) = [ln(1 + tg(x + 10))]^3 * [arcsin(x + 10)]^6 β(x) = x + 10

Вычислим предел отношения α(x) к β(x) при x -> 0:

lim(x->0) [α(x) / β(x)] = lim(x->0) {[ln(1 + tg(x + 10))]^3 * [arcsin(x + 10)]^6 / (x + 10)}

Так как x -> 0, то tg(x + 10) -> tg(10) и arcsin(x + 10) -> arcsin(10), поэтому:

lim(x->0) [α(x) / β(x)] = [ln(1 + tg(10))]^3 * [arcsin(10)]^6 / 10

Таким образом, порядок малости функции α(x) относительно функции β(x) равен 1, так как предел отношения стремится к константе 1 при x -> 0.