Найдите наименьшее значение параметра a, при котором система уравнений |x − 100| + |y − 100| = 25, y − ax + 10a = 10, имеет ровно одно решение

Для того чтобы система имела ровно одно решение, необходимо, чтобы графики уравнений пересекались в одной точке.

Уравнение |x − 100| + |y − 100| = 25 задает квадрат с центром в точке (100, 100) и стороной 50. Точка пересечения с осями координат будет (75, 100) и (100, 75).

Уравнение y − ax + 10a = 10 задает прямую на плоскости. Чтобы она пересекала квадрат ровно в одной точке, необходимо, чтобы прямая проходила через одну из вершин квадрата и не пересекала его стороны.

Подставим координаты вершин квадрата в уравнение прямой:

1. При (75, 100): 100 - 75a + 10a = 10 25 - 65a = 10 -65a = -15 a = 3/13

2. При (100, 75): 75 - 100a + 10a = 10 75 - 90a = 10 -90a = -65 a = 13/9

Наименьшее значение параметра a, при котором система имеет ровно одно решение, равно 3/13.