Найдите наибольшее натуральное число n , для которого верно неравенство 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 8 + . . . + n ( 3 n − 1 ) ≤ 2025 ( n + 1 ) .

Для решения данной задачи можно просто перебирать значения n и проверять выполнение неравенства.

12 + 25 + 3*8 + ... + n(3n-1) = Σ(k(3k-1)) = Σ(3k^2 - k) = 3Σ(k^2) - Σ(k) = 3(n(n+1)(2n+1)/6) - n(n+1)/2 = n(n+1)(n+1) - n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+1)/2

Таким образом, нам нужно найти наибольшее натуральное число n, для которого n(n+1)(2n+1)/2 ≤ 2025(n+1).

Подставляем n = 1, 2, 3, ... и находим, что наибольшее n = 15.

Проверка: 12 + 25 + 38 + ... + 1544 = 2025, что меньше или равно 2025*16 = 32400.

Ответ: наибольшее натуральное число n = 15.