Найди площадь фигуры, ограниченной прямыми  x = 4 x=4,  x = 8 x=8, осью Ox и графиком функции  f ( x ) = 1 4 x 3 + 6 f(x)= 4 1 ​ x 3 +6.

Для начала найдем точки пересечения функции с прямыми  x

4 x=4 и  x

8 x=8.

Подставляем  x

4 x=4 в уравнение функции:  f ( 4 )

1 4 ⋅ 4 3 + 6

1 4 ⋅ 6 4 + 6

24 + 6

30 f(4)= 4 1 ​ ⋅4 3 +6= 4 1 ​ ⋅64 +6=24+6=30

Точка пересечения с прямой  x

4 x=4 имеет координаты  ( 4 , 30 ) (4,30).

Подставляем  x

8 x=8 в уравнение функции:  f ( 8 )

1 4 ⋅ 8 3 + 6

1 4 ⋅ 5 1 2 + 6

320 + 6

326 f(8)= 4 1 ​ ⋅8 3 +6= 4 1 ​ ⋅512 +6=320+6=326

Точка пересечения с прямой  x

8 x=8 имеет координаты  ( 8 , 326 ) (8,326).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной прямыми  x

4 x=4,  x

8 x=8, осью Ox и графиком функции  f ( x )

1 4 x 3 + 6 f(x)= 4 1 ​ x 3 +6.

Площадь можно найти как разность интегралов функции  f(x) между точками пересечения с прямыми  x

4 x=4 и  x

8 x=8, и осью Ox:

 S

∫ 4 8 ( 1 4 x 3 + 6 ) d x − ∫ 4 8 ( 0 ) d x

∫ 4 8 ( 1 4 x 3 + 6 ) d x

[ 1 4 ⋅ 1 4 x 4 + 6 x ] 4 8

[ 1 4 ⋅ 1 4 ⋅ 8 4 + 6 ⋅ 8 ] − [ 1 4 ⋅ 1 4 ⋅ 4 4 + 6 ⋅ 4 ]

512 + 48 − 32 − 24

504 S=∫ 4 8 ​ ( 4 1 ​ x 3 +6)dx−∫ 4 8 ​ (0)dx=∫ 4 8 ​ ( 4 1 ​ x 3 +6)dx=[ 4 1 ​ ⋅14x 4 +6x] 4 8 ​ =[ 4 1 ​ ⋅148 4 +6⋅8]−[ 4 1 ​ ⋅144 4 +6⋅4]=512+48−32−24=504

Ответ:  504 504.