На стороне BC и AB остроугольного треугольника ю ABC выбраны точки M и N соответственно так, что BAM=MAC=NCB. Известно, что AC=12 AN=4. Найдите значение выражения AM2-MC2

Обозначим угол BAM = α. Тогда угол MAC = угол NCB = α. Также угол ACB = 180 - 2α.

Из треугольника ABC по теореме синусов получаем: BM/sin(α) = AC/sin(180 - 3α) BM = 12sin(2α)/sin(3α)

Из треугольника ABM по теореме синусов получаем: AM/sin(180 - 2α) = BM/sin(α) AM = BMsin(180 - 2α)/sin(α) AM = 12sin(2α)sin(2α)/sin(3α)sin(α) AM = 12sin^2(2α)/sin(3α)cos(α)

Из треугольника ACM по теореме синусов получаем: MC/sin(α) = AC/sin(180 - 3α) MC = 12sin(2α)/sin(3α)

Теперь выразим AM^2 - MC^2 через угол α: AM^2 - MC^2 = (12sin^2(2α)/sin(3α)cos(α))^2 - (12sin(2α)/sin(3α))^2 AM^2 - MC^2 = 144sin^4(2α)/sin^2(3α)cos^2(α) - 144sin^2(2α)/sin^2(3α) AM^2 - MC^2 = 144sin^2(2α)(sin^2(2α)/cos^2(2α) - 1)/sin^2(3α) AM^2 - MC^2 = 144sin^2(2α)(tan^2(2α) - 1)/sin^2(3α) AM^2 - MC^2 = 144sin^2(2α)(tan^2(2α) - 1)/(3 - 4sin^2(2α))

Теперь осталось найти значение этого выражения.