На сторонах KL, LM, MK треугольника KLM отмечены точки A, B, C соответственно, причём KA:AL=LB:BM=MC:CK=3:5. Пусть P - точка пересечения MA и KB, Q - точка пересечения KB и LC, а R - точка пересечения MA и LC. Найдите площадь треугольника KLM, если площадь треугольника PQR равна 8.

Обозначим стороны треугольника KLM через a, b, c. Тогда, так как отношения сторон KA:AL=LB:BM=MC:CK=3:5, то KA = 3x, AL = 5x, LB = 3y, BM = 5y, MC = 3z, CK = 5z, где x, y, z - коэффициенты пропорциональности.

Теперь рассмотрим треугольники PQR и KLM. Пусть S(KLM) - площадь треугольника KLM, S(PQR) - площадь треугольника PQR.

Так как треугольники PQR и KLM подобны (по теореме об угловой части подобных треугольников), то отношение площадей треугольников равно квадрату отношения длин сторон:

S(PQR)/S(KLM) = (PQ/KL)^2 = (PR/KM)^2 = (QR/LM)^2

Так как площадь треугольника PQR равна 8, то получаем:

8/S(KLM) = (PQ/KL)^2 = (PR/KM)^2 = (QR/LM)^2

Теперь найдем длины отрезков PQ, PR и QR. Так как треугольники PQR и KLM подобны, то соответствующие стороны также имеют отношение 3:5. Таким образом, PQ = 3x, PR = 3y, QR = 3z.

Подставляем найденные значения в уравнение:

8/S(KLM) = (3x/a)^2 = (3y/b)^2 = (3z/c)^2

8/S(KLM) = 9x^2/a^2 = 9y^2/b^2 = 9z^2/c^2

S(KLM) = 8/(9x^2/a^2) = 8a^2/(9x^2) = 8a^2/(99a^2/25) = 825/81 = 200/81

Итак, площадь треугольника KLM равна 200/81.