на сторонах BC и AB остроугольного треугольника выбраны точки M и N соответственно так,что угол BAM= углу MAC= углу NCB. Известно, что AC= 18, AN=6. Найдите значение выражения AM^2-MC^2

Для начала заметим, что треугольники ABC и AMN подобны по двум углам, так как угол BAM = углу NCB и угол MAC = углу ACB. Также из условия задачи мы знаем, что AN = 6 и AC = 18.

Используем свойство подобных треугольников: отношение сторон подобных треугольников равно. Таким образом, мы можем записать:

AM / AC = MN / BC

AM / 18 = 6 / BC

BC = 3 * AM

Теперь рассмотрим треугольник AMC. Из теоремы косинусов мы можем выразить AM^2 через стороны треугольника:

AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 * AC * MC * cos(ACM)

Так как угол MAC = углу ACB, то угол ACM = углу ACB - углу MAC = углу NCB - углу BAM = углу ACB - углу ACB = 0. Таким образом, cos(ACM) = cos(0) = 1.

Подставляем это обратно в формулу:

AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 * AC * MC

Так как AC = 18, то:

AM^2 = 18^2 + MC^2 - 2 * 18 * MC

AM^2 = 324 + MC^2 - 36MC

Теперь подставим найденное ранее значение BC = 3 * AM:

AM^2 = 324 + MC^2 - 36MC

(AM / 3)^2 = 324 + MC^2 - 36MC

AM^2 / 9 = 324 + MC^2 - 36MC

AM^2 = 9 * 324 + 9 * MC^2 - 9 * 36MC

AM^2 = 2916 + 9MC^2 - 324MC

Теперь подставим это значение в исходное выражение AM^2 - MC^2:

AM^2 - MC^2 = 2916 + 9MC^2 - 324MC - MC^2

AM^2 - MC^2 = 2916 + 8MC^2 - 324MC

AM^2 - MC^2 = 2916 + 4(2MC^2 - 81MC)

AM^2 - MC^2 = 2916 + 4(MC - 9)(MC + 9)

Таким образом, значение выражения AM^2 - MC^2 равно 2916.