На резиновом жгуте к потолку подвешена система из трёх одинаковых шариков массой m=200 г и трёх невесомых пружин с одинаковыми коэффициентами жёсткости k=100 Н/м. Длины пружин в недеформированном состоянии подобраны так, что в подвешенном состоянии пружины образуют равнобедренный прямоугольный треугольник (см. рисунок). Ускорение свободного падения 10 м/с^2 На сколько сантиметров длина нижней пружины в состоянии равновесия отличается от её длины в недеформированном состоянии? С каким ускорением начнёт двигаться верхний шарик, если лопнет резиновый жгут, на котором подвешена система?

1. Длина нижней пружины в недеформированном состоянии равна $l$, а в равновесном состоянии равна $l + \Delta l$. Обозначим через $x$ горизонтальное расстояние от вертикальной оси до середины нижней пружины. Тогда вертикальное расстояние от середины нижней пружины до верхнего шарика равно $\frac{x}{2}$. Составим уравнение равновесия для верхнего шарика по оси $y$: $T - mg = 0,$ где $T$ - сила натяжения пружины, $m$ - масса шарика, $g$ - ускорение свободного падения. Составим уравнение равновесия для верхнего шарика по оси $x$: $kx = mg,$ где $k$ - коэффициент жесткости пружины. Так как треугольник равнобедренный, то $x = \frac{\Delta l}{2}$. Из уравнений получаем: $\frac{k\Delta l}{2} = mg,$ $\Delta l = \frac{2mg}{k} = \frac{2 \cdot 0.2 \cdot 10}{100} = 0.04 \text{ м} = 4 \text{ см}.$

Ответ: длина нижней пружины в состоянии равновесия отличается от её длины в недеформированном состоянии на 4 см.

2. После лопания резинового жгута верхний шарик начнет двигаться под действием силы тяжести. Ускорение верхнего шарика можно найти из уравнения второго закона Ньютона: $ma = mg,$ $a = g = 10 \text{ м/с}^2.$

Ответ: верхний шарик начнет двигаться с ускорением 10 м/с^2.