На окружности с центром О выбрана точка А. Из этой окружности выбирают случайную точку Х. Найдите вероятность того, что угол АОХ: а) меньше 90°; б) больше 120°; в) находится в пределах от 30° до 60°.

а) Вероятность того, что угол АОХ меньше 90° равна отношению длины дуги, соответствующей этому углу, к длине всей окружности. Длина дуги, соответствующей углу меньше 90°, равна 90°/360° = 1/4 от длины всей окружности. Таким образом, вероятность равна 1/4.

б) Вероятность того, что угол АОХ больше 120° равна отношению длины дуги, соответствующей этому углу, к длине всей окружности. Длина дуги, соответствующей углу больше 120°, равна (360°-120°)/360° = 5/6 от длины всей окружности. Таким образом, вероятность равна 5/6.

в) Вероятность того, что угол АОХ находится в пределах от 30° до 60° равна отношению длины дуги, соответствующей этому углу, к длине всей окружности. Длина дуги, соответствующей углу от 30° до 60°, равна (60°-30°)/360° = 1/12 от длины всей окружности. Таким образом, вероятность равна 1/12.