На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 72, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.

Для начала найдем длину стороны меньшего шестиугольника. Площадь правильного шестиугольника равна:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$,

где $a$ - длина стороны. Таким образом,

$72 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$,

$a^2 = \frac{48}{\sqrt{3}}$,

$a = 4\sqrt{3}$.

Теперь найдем длину диагонали меньшего шестиугольника. Диагональ правильного шестиугольника равна $2a$, то есть $8\sqrt{3}$.

Так как наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника, то длина стороны большего шестиугольника равна $8\sqrt{3}$.

Площадь большего шестиугольника равна:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(8\sqrt{3})^2 = 432$.

Теперь найдем площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников. Поскольку площадь пересечения шестиугольников равна сумме их площадей за вычетом площади общего треугольника, то

$S_{\text{пересечения}} = 72 + 432 - \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 72 + 432 - 96 = 408$.

Ответ: площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна 408.