На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 72, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.

Для начала найдем сторону меньшего шестиугольника. Площадь правильного шестиугольника равна:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2,$

где $a$ - длина стороны шестиугольника. Таким образом, $72 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$, откуда $a = 8$.

Теперь найдем длину диагонали меньшего шестиугольника. Диагональ шестиугольника равна $2a = 16$.

Так как наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника, то сторона большего шестиугольника равна $2a = 16$.

Теперь найдем площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников. Поскольку шестиугольники правильные, пересечение будет равно пересечению двух правильных треугольников, образованных диагоналями. Площадь такого треугольника равна:

$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 \cdot \sin{60^\circ} = 64\sqrt{3}.$

Таким образом, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна $2 \cdot 64\sqrt{3} = 128\sqrt{3}$.