На доске написано не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 53. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившийся чисел и получил сумму 44. Наконец Андрей вычел из каждого числа доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 59 (каждый осуществлял операции начальным набором чисел написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Пусть на доске было написано x чисел.

Тогда, согласно условию, мы можем записать следующую систему уравнений:

|x-1| + |x-1| + ... + |x-1| = 53, |x-2| + |x-2| + ... + |x-2| = 44, |x-3| + |x-3| + ... + |x-3| = 59.

Упростим каждое уравнение:

|x-1| = 53/x, |x-2| = 44/x, |x-3| = 59/x.

Так как числа на доске неотрицательные, то x >= 3.

Теперь рассмотрим случаи:

1. Если x = 3, то получаем, что на доске были числа 3, 3, 3. Но это не удовлетворяет условию, так как суммы для Васи и Андрея не совпадают.

2. Если x = 4, то получаем, что на доске были числа 4, 4, 4, 4. Но это также не удовлетворяет условию.

3. Если x = 5, то получаем, что на доске были числа 5, 5, 5, 5, 5. Это удовлетворяет всем условиям.

Итак, на доске было написано 5 чисел, из которых две были двойками.