На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Пусть на доске было написано a чисел, изначально равных a1, a2, ..., aa.

После вычитания 1 из каждого числа и сложения модулей получаем: |a1-1| + |a2-1| + ... + |aa-1| = 69

После вычитания 2 из каждого числа и сложения модулей получаем: |a1-2| + |a2-2| + ... + |aa-2| = 64

После вычитания 3 из каждого числа и сложения модулей получаем: |a1-3| + |a2-3| + ... + |aa-3| = 87

Преобразуем уравнения: (|a1| - 1) + (|a2| - 1) + ... + (|aa| - 1) = 69 (|a1| - 2) + (|a2| - 2) + ... + (|aa| - 2) = 64 (|a1| - 3) + (|a2| - 3) + ... + (|aa| - 3) = 87

Сложим все уравнения: 3(|a1| + |a2| + ... + |aa|) - 6 = 69 + 64 + 87 3(|a1| + |a2| + ... + |aa|) = 220 |a1| + |a2| + ... + |aa| = 73.33

Так как сумма модулей целых чисел всегда целое число, то сумма модулей равна 73.

Таким образом, на доске было написано 73 числа. Пусть из них x было равно 2. Тогда 73 - x было равно 0.

Уравнение для x: 2x + 0*(73-x) = 73 2x = 73 x = 36.5

Получаем, что x должно быть целым числом, следовательно, на доске было написано 36 двоек.