На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 62. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 58. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 80 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Обозначим количество чисел на доске за n. Пусть x1, x2, ..., xn - исходные числа на доске. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:

|x1-1| + |x2-1| + ... + |xn-1| = 62 |x1-2| + |x2-2| + ... + |xn-2| = 58 |x1-3| + |x2-3| + ... + |xn-3| = 80

Рассмотрим первое уравнение. Заметим, что сумма модулей разностей чисел с их предыдущими значениями равна сумме всех чисел на доске. Таким образом, сумма всех чисел на доске равна 62 + n. Аналогично, сумма всех чисел на доске равна 58 + n и 80 + n по второму и третьему уравнениям соответственно.

Из этого следует, что 62 + n = 58 + n = 80 + n, откуда 62 = 58 = 80, что невозможно. Следовательно, решения данной системы уравнений не существует.

Таким образом, на доске не может быть написано никаких чисел, и ответ на вопрос - 0 двоек было написано на доске.