На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Пусть на доске было написано a чисел, изначально равных a1, a2, ..., aa. Тогда после вычитания 1 Коля получил сумму модулей чисел a1-1, a2-1, ..., aa-1, равную 73. После вычитания 2 Вася получил сумму модулей чисел a1-2, a2-2, ..., aa-2, равную 74. После вычитания 3 Андрей получил сумму модулей чисел a1-3, a2-3, ..., aa-3, равную 95.

Таким образом, у нас есть система уравнений: |a1-1| + |a2-1| + ... + |aa-1| = 73 |a1-2| + |a2-2| + ... + |aa-2| = 74 |a1-3| + |a2-3| + ... + |aa-3| = 95

Рассмотрим первое уравнение. Поскольку все числа неотрицательные, то каждое слагаемое не меньше 0. Таким образом, сумма модулей не меньше, чем сумма чисел: a1-1 + a2-1 + ... + aa-1 >= 73. Аналогично для остальных уравнений.

Теперь вычтем второе уравнение из первого: |a1-1| + |a2-1| + ... + |aa-1| - (|a1-2| + |a2-2| + ... + |aa-2|) = 73 - 74 То есть, каждое слагаемое равно либо 1, либо -1. Таким образом, разность равна сумме всех 1 и -1, то есть a1-1 + a2-1 + ... + aa-1 - (a1-2 + a2-2 + ... + aa-2) = 1.

Аналогично для разности второго и третьего уравнений: a1-2 + a2-2 + ... + aa-2 - (a1-3 + a2-3 + ... + aa-3) = 21

Таким образом, получаем систему уравнений: a1-1 + a2-1 + ... + aa-1 - (a1-2 + a2-2 + ... + aa-2) = 1 a1-2 + a2-2 + ... + aa-2 - (a1-3 + a2-3 + ... + aa-3) = 21

Решая эту систему, получаем a = 22. То есть, на доске было написано 22 числа, из которых 22-1 = 21 двойка.