На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 53. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 44. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 59 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Пусть на доске было написано n чисел.

Тогда сумма модулей чисел после вычитания 1 из каждого и сложения равна 53n. Сумма модулей чисел после вычитания 2 из каждого и сложения равна 44n. Сумма модулей чисел после вычитания 3 из каждого и сложения равна 59n.

Таким образом, у нас есть система уравнений: |a1-1| + |a2-1| + ... + |an-1| = 53n |a1-2| + |a2-2| + ... + |an-2| = 44n |a1-3| + |a2-3| + ... + |an-3| = 59n

Рассмотрим первое уравнение: (a1-1 + a2-1 + ... + an-1) - (a1-1 + a2-1 + ... + an-1) = 53n Так как каждый модуль равен 1, то разность равна 53n

Аналогично для второго и третьего уравнений: (a1-2 + a2-2 + ... + an-2) - (a1-2 + a2-2 + ... + an-2) = 44n (a1-3 + a2-3 + ... + an-3) - (a1-3 + a2-3 + ... + an-3) = 59n

Таким образом, сумма всех чисел на доске равна (53+44+59)n = 156n С другой стороны, сумма всех чисел на доске равна a1 + a2 + ... + an Так как все числа на доске неотрицательные, то каждое число больше или равно 0, следовательно сумма всех чисел не меньше 0. Таким образом, 156n >= 0, откуда n >= 0

Так как n - целое число, то n >= 0 То есть на доске было не меньше 0 чисел.

Теперь заметим, что если на доске было написано хотя бы одна двойка, то каждое из чисел а1, а2, ..., аn будет хотя бы 2, а значит сумма модулей чисел после вычитания 2 из каждого и сложения будет не меньше, чем сумма модулей чисел после вычитания 1 из каждого и сложения.

Таким образом, на доске было написано 0 двоек.