На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Пусть на доске было написано a чисел, каждое из которых равно x. Тогда сумма модулей чисел после вычитания 1 равна 69a, после вычитания 2 равна 64a, а после вычитания 3 равна 87a.

Из этого следует, что 69a = |a(x-1)|, 64a = |a(x-2)|, 87a = |a(x-3)|.

Так как a и x неотрицательные целые числа, то x-1, x-2, x-3 также целые числа. Рассмотрим все возможные варианты:

1. x-1 = 69, x-2 = 64, x-3 = 87. В этом случае x = 70, что приводит к противоречию.

2. x-1 = 23, x-2 = 32, x-3 = 29. В этом случае x = 24, что удовлетворяет всем условиям.

Таким образом, на доске было написано 24 числа, каждое из которых равно 29. Следовательно, на доске было 24 двойки.