На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 62. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 58. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 80 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Пусть на доске было n чисел.

После вычитания 1 из каждого числа и сложения модулей получаем сумму 62: |a1-1| + |a2-1| + ... + |an-1| = 62

После вычитания 2 из каждого числа и сложения модулей получаем сумму 58: |a1-2| + |a2-2| + ... + |an-2| = 58

После вычитания 3 из каждого числа и сложения модулей получаем сумму 80: |a1-3| + |a2-3| + ... + |an-3| = 80

Рассмотрим разности между суммами после каждого вычитания: 62 - 58 = 4 80 - 62 = 18 80 - 58 = 22

Таким образом, сумма модулей всех чисел на доске увеличивается на 4 при вычитании 1, на 18 при вычитании 2 и на 22 при вычитании 3. Это означает, что каждая двойка на доске увеличивает сумму модулей на 4+18+22 = 44.

Пусть количество двоек на доске равно k. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом: 44k = 80 - 58 = 22 k = 22/44 = 0.5

Так как количество двоек должно быть целым числом, получаем противоречие. Следовательно, на доске не было написано ни одной двойки.