Можно ли вписать в ряд натуральные числа от 1 до 9 таким образом, чтобы сумма любых двух соседних чисел делилась или на 3, или на 4

Да, это возможно. Вот один из вариантов расположения чисел от 1 до 9:

9, 3, 6, 2, 8, 4, 7, 1, 5

Проверим суммы соседних чисел:

9 + 3 = 12 (делятся на 3) 3 + 6 = 9 (делятся на 3) 6 + 2 = 8 (делятся на 4) 2 + 8 = 10 (делятся на 2) 8 + 4 = 12 (делятся на 3) 4 + 7 = 11 (не делятся ни на 3, ни на 4) 7 + 1 = 8 (делятся на 4) 1 + 5 = 6 (делятся на 3)

Таким образом, сумма любых двух соседних чисел в данном ряду дает число, которое либо делится на 3, либо на 4.