Да, вы можете написать директору о своем плохом самочувствии и запросить больничный. Однако, важно помнить, что в некоторых компаниях требуется предоставить медицинскую справку о болезни для получения больничного. Также, убедитесь, что ваше действие не противоречит законодательству и внутренним правилам компании. Если у вас возникли сомнения, лучше проконсультируйтесь с юристом или HR-специалистом.