медиана pc и биссектриса qf треугольника pqr пересекаются в точке t. известно, что pq=8 qr=12 pr=5. найти qt tf pt tc

Для начала найдем высоту треугольника $PTF$ из вершины $T$ на сторону $PF$.

Так как медиана $PC$ пересекается с биссектрисой $QF$ в точке $T$, то точка $T$ является центром тяжести треугольника $PQR$. Таким образом, $PT = \frac{2}{3}PC$ и $TF = \frac{2}{3}QF$.

Также, так как точка $T$ является центром тяжести треугольника $PTF$, то $PT = \frac{2}{3}TF$.

Из этой системы уравнений можно найти $PT$, $TF$, $QT$ и $TC$:

$PT = \frac{2}{3}PC = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot PQ^2 + 2 \cdot PR^2 - QR^2} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 5^2 - 12^2} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{64 + 50 - 144} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{114 - 144} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{-30} = \frac{\sqrt{30}}{3}$

$TF = \frac{2}{3}QF = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot QR^2 + 2 \cdot QP^2 - PR^2} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot 8^2 - 5^2} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{288 + 128 - 25} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{391} = \frac{\sqrt{391}}{3}$

$QT = PT - PQ = \frac{\sqrt{30}}{3} - 8$

$TC = PT - TC = PT - TF = \frac{\sqrt{30}}{3} - \frac{\sqrt{391}}{3}$

Итак, $QT = \frac{\sqrt{30}}{3} - 8$, $TF = \frac{\sqrt{391}}{3}$, $PT = \frac{\sqrt{30}}{3}$, $TC = \frac{\sqrt{30}}{3} - \frac{\sqrt{391}}{3}$.