Квадратичная форма с двумя переменными. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи поворота и параллельного переноса на плоскости.

Для приведения квадратичной формы с двумя переменными к каноническому виду при помощи поворота и параллельного переноса на плоскости, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишем квадратичную форму в общем виде: $Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f$

2. Выразим матрицу квадратичной формы: $A = \begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix}$

3. Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы A: $\lambda_{1,2} = \frac{a + c \pm \sqrt{(a - c)^2 + b^2}}{2}$ $v_{1,2} = \begin{pmatrix} \lambda - a \\ b \end{pmatrix}$

4. Построим матрицу S из собственных векторов: $S = \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix}$

5. Повернем систему координат на угол θ, где: $\tan(2\theta) = \frac{b}{a - c}$

6. Найдем матрицу поворота: $R = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$

7. Применим матрицу поворота к матрице S: $S' = SR$

8. Получим канонический вид квадратичной формы: $Q'(x', y') = \lambda_1(x'^2) + \lambda_2(y'^2)$

Где: $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Таким образом, применяя указанные шаги, можно привести квадратичную форму с двумя переменными к каноническому виду при помощи поворота и параллельного переноса на плоскости.