Каждое из чисел от 1 до 3491 записано чернилами одного из k цветов (каждый цвет встречается). Оказалось, что для каждого цвета количество чисел этого цвета равно наименьшему числу, записанному чернилами этого цвета. При каком наибольшем k это возможно?

Для решения этой задачи нужно заметить, что каждое число от 1 до 3491 может быть записано только одним цветом. Поэтому количество чисел каждого цвета должно быть равно наименьшему числу, записанному этим цветом.

Наименьшее число, записанное каждым цветом, будет равно 1, 2, 3, ..., k (по одному числу для каждого цвета). Поэтому сумма количества чисел каждого цвета должна быть равна сумме чисел от 1 до k.

Сумма чисел от 1 до k равна k(k+1)/2. Таким образом, мы должны найти наибольшее k, для которого существует такое разбиение чисел от 1 до 3491 на k групп, что сумма чисел в каждой группе равна k(k+1)/2.

Максимальное значение k, для которого это возможно, равно 66. Проверим:

1 + 2 + 3 + ... + 66 = 66*67/2 = 2211

Таким образом, мы можем разбить числа от 1 до 3491 на 66 групп, где в каждой группе будет 1 число каждого цвета, и сумма чисел в каждой группе будет равна 2211.