какое наименьшее количество клеток нужно отметить на доске 9 × 11, чтобы в любом квадрате 3 × 3 было хотя бы 4 отмеченных клетки?

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом от противного.

Предположим, что нам удастся отметить только 32 клетки на доске 9 × 11, и в каждом квадрате 3 × 3 будет не более 3 отмеченных клеток. Тогда в каждом квадрате 3 × 3 будет не менее 6 неотмеченных клеток.

Так как в каждом квадрате 3 × 3 всего 9 клеток, и в нем не может быть более 3 отмеченных клеток, то оставшиеся 6 клеток должны быть неотмеченными. Таким образом, в каждом квадрате 3 × 3 будет ровно 6 неотмеченных клеток.

Теперь посчитаем, сколько всего клеток на доске 9 × 11 можно разделить на квадраты 3 × 3 так, чтобы в каждом квадрате было ровно 6 неотмеченных клеток. В каждом квадрате 3 × 3 6 неотмеченных клеток, значит, в каждом квадрате 3 × 3 должно быть 3 отмеченных клетки.

Таким образом, в каждом квадрате 3 × 3 должно быть 3 отмеченных и 6 неотмеченных клеток, всего 9 клеток. На доске 9 × 11 всего 99 клеток, которые можно разделить на квадраты 3 × 3.

99 / 9 = 11

Таким образом, на доске 9 × 11 можно разместить 11 квадратов 3 × 3, в каждом из которых будет ровно 3 отмеченных клетки.

Ответ: наименьшее количество клеток, которое нужно отметить на доске 9 × 11, чтобы в каждом квадрате 3 × 3 было хотя бы 4 отмеченных клетки, равно 11.