Известно, что сумма квадратов корней трёхчлена 2² + 2ax + 2b равна сумме квадратов корней трёхчлена x² + 2bx + 2a. Чему равно а + в, если а ≠ в?

Для начала найдем корни обоих трехчленов.

Для трехчлена 2² + 2ax + 2b, корни можно найти из уравнения x² + ax + b = 0. D = a² - 4b. Так как корни существуют, то D >= 0. D = a² - 4b >= 0 a² >= 4b a >= 2√b

Корни для этого трехчлена: x₁ = -a + √(a² - 4b), x₂ = -a - √(a² - 4b)

Для трехчлена x² + 2bx + 2a, корни можно найти из уравнения x² + bx + 2a = 0. D = b² - 8a. Так как корни существуют, то D >= 0. D = b² - 8a >= 0 b² >= 8a b >= 2√2a

Корни для этого трехчлена: x₁ = -b + √(b² - 8a), x₂ = -b - √(b² - 8a)

Теперь, по условию задачи, сумма квадратов корней трехчлена 2² + 2ax + 2b равна сумме квадратов корней трехчлена x² + 2bx + 2a:

((-a + √(a² - 4b))² + (-a - √(a² - 4b))²) = ((-b + √(b² - 8a))² + (-b - √(b² - 8a))²)

(a² + 2b) = (b² + 2a)

a² + 2b = b² + 2a

a² - 2a = b² - 2b

a(a - 2) = b(b - 2)

Так как a ≠ b, то a - 2 = b и a = b + 2

Подставим это в уравнение a ≥ 2√b:

b + 2 ≥ 2√b b + 2 ≥ 2b 2 ≥ b

Так как a ≠ b, то a = 2, b = 1

Ответ: а + b = 2 + 1 = 3.