Известно что сумма квадратов корней трёхчлена x²+5ax+5b равно сумме квадратов корней трёхчлена x²+5bx+5a . Чему равно a+b , если a≠b

Для начала найдем корни трехчленов.

Для трехчлена x² + 5ax + 5b корни можно найти с помощью дискриминанта:

D = (5a)² - 415b = 25a² - 20b

x₁ = (-5a + √D) / 2 x₂ = (-5a - √D) / 2

Аналогично для трехчлена x² + 5bx + 5a:

D' = (5b)² - 415a = 25b² - 20a

x'₁ = (-5b + √D') / 2 x'₂ = (-5b - √D') / 2

Теперь, согласно условию задачи, сумма квадратов корней первого трехчлена должна быть равна сумме квадратов корней второго трехчлена:

x₁² + x₂² = x'₁² + x'₂²

((-5a + √D) / 2)² + ((-5a - √D) / 2)² = ((-5b + √D') / 2)² + ((-5b - √D') / 2)²

После раскрытия скобок и упрощения уравнения получим:

a² + 25a² - 10a√D + 25a² + 10a√D + D / 4 = b² + 25b² - 10b√D' + 25b² + 10b√D' + D' / 4

2a² + D / 4 = 2b² + D' / 4

Учитывая, что D = 25a² - 20b и D' = 25b² - 20a, подставляем их в уравнение:

2a² + (25a² - 20b) / 4 = 2b² + (25b² - 20a) / 4

8a² + 25a² - 20b = 8b² + 25b² - 20a

33a² + 20a = 33b² + 20b

33a² - 33b² = 20b - 20a

33(a² - b²) = 20(b - a)

33(a - b)(a + b) = -20(a - b)

33(a + b) = -20

a + b = -20 / 33

a + b = -20/33

Таким образом, если a ≠ b, то a + b = -20/33.