Известно, что `|20veca-vecb|=|veca-20vecb|`. Докажите, что |`veca`|=|`vecb`|.

Для начала раскроем модули в левой и правой частях равенства:

|20veca-vecb|=|veca-20vecb|

√((20veca-vecb)•(20veca-vecb)) = √((veca-20vecb)•(veca-20vecb))

Раскроем скалярные произведения:

√(400veca•veca - 40veca•vecb - 40vecb•veca + vecb•vecb) = √(veca•veca - 40veca•vecb + 400vecb•vecb)

Упростим выражение:

√(400|veca|^2 - 40veca•vecb - 40vecb•veca + |vecb|^2) = √(|veca|^2 - 40veca•vecb + 400|vecb|^2)

Так как выражения внутри корней равны, то:

400|veca|^2 - 40veca•vecb - 40vecb•veca + |vecb|^2 = |veca|^2 - 40veca•vecb + 400|vecb|^2

Упростим это равенство:

399|veca|^2 + 399|vecb|^2 = 80veca•vecb + 80veca•vecb

399(|veca|^2 + |vecb|^2) = 160veca•vecb

Теперь поделим обе части равенства на 160:

399/160(|veca|^2 + |vecb|^2) = veca•vecb

Так как скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними, и оно равно произведению модулей векторов только в случае, когда угол между векторами равен 0 градусов, то veсa•vecb = |veca||vecb|cos(0°) = |veca||vecb|

Таким образом, мы получили, что |veca||vecb| = 399/160(|veca|^2 + |vecb|^2)

Так как модули векторов всегда положительны, то |veca| и |vecb| также положительны. Следовательно, можно сократить обе части равенства на |veca||vecb|:

1 = 399/160(|veca| + |vecb|)

160 = 399(|veca| + |vecb|)

Так как обе величины положительны, то можно разделить обе части равенства на 399:

160/399 = |veca| + |vecb|

Таким образом, мы получили, что |veca| + |vecb| = 160/399. Поскольку обе величины положительны, то их сумма не может быть отрицательной, следовательно, |veca| = |vecb|.

Таким образом, доказано, что |veca| = |vecb|.