Из точки А лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК пересекающие окружности в точках В, С и М, К соответственно начиная от точки А. Найти длину отрезка АС и ВС, если АМ=3, МК=5, АВ=4.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательных, проведенных к окружности из одной точки. Так как точка А лежит вне окружности, то отрезки АВ и АМ - касательные к окружности.

Из теоремы о касательных к окружности следует, что отрезок, проведенный от точки касания до точки пересечения касательной с другой окружностью, равен радиусу окружности. Таким образом, радиус окружности, в которую вписан треугольник АВС, равен 4.

Так как АМ = 3, то радиус вписанной окружности в треугольник АМК равен 3.

Теперь рассмотрим треугольник АВС. По теореме Пифагора для этого треугольника имеем: AC^2 = AB^2 + BC^2 AC = √(AB^2 + BC^2)

Также заметим, что треугольники АВС и АМК подобны, так как у них соответственные углы равны (угол В равен углу М, так как они опираются на одну и ту же дугу). Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны:

AB / AM = BC / MK 4 / 3 = BC / 5 BC = 20 / 3

Теперь можем найти длину отрезка AC: AC = √(4^2 + (20/3)^2) = √(16 + 400/9) = √(256/9 + 400/9) = √(656/9) = 8√(41) / 3

Таким образом, длина отрезка AC равна 8√(41) / 3.

Для нахождения длины отрезка VC воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ВСМ: VC^2 = VM^2 + MC^2 VC = √(VM^2 + MC^2) = √(3^2 + 5^2) = √(9 + 25) = √34

Таким образом, длина отрезка VC равна √34.

Итак, мы нашли, что длина отрезка AC равна 8√(41) / 3, а длина отрезка VC равна √34.