Груз массой 200 г совершает колебания на пружине жесткостью 0,25 кН/м, амплитуда колебаний — 10 см. Найдите смещение груза относительно положения равновесия в момент, когда его скорость на 30% меньше максимального значения скорости.

Для начала найдем максимальную скорость груза в момент прохождения через положение равновесия.

Максимальная кинетическая энергия груза равна потенциальной энергии пружины в крайней точке колебаний:

$E_{\text{к}} = E_{\text{п}}$

$\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = \frac{1}{2}kA^2$

$v_{\text{max}} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$

$v_{\text{max}} = 0.1 \cdot \sqrt{\frac{0.25 \cdot 10^3}{0.2}}$

$v_{\text{max}} = 5 \, \text{м/с}$

Скорость в момент, когда она на 30% меньше максимальной:

$v = 0.7 \cdot v_{\text{max}}$

$v = 0.7 \cdot 5$

$v = 3.5 \, \text{м/с}$

Теперь найдем смещение груза относительно положения равновесия при данной скорости.

Максимальная потенциальная энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию груза в момент прохождения через положение равновесия:

$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2$

$x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}}$

$x = \sqrt{\frac{0.2 \cdot 3.5^2}{0.25 \cdot 10^3}}$

$x = \sqrt{\frac{0.245}{0.25}}$

$x = 0.7 \, \text{м}$

Таким образом, смещение груза относительно положения равновесия в момент, когда его скорость на 30% меньше максимального значения скорости, равно 70 см.