Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведены касательные к каждой из окружностей, вторично пересекающие их в точках С и К. Найдите длину хорды АВ, если СА = 8, КА = 18 и касательные перпендикулярны друг другу.

Пусть O1 и O2 - центры окружностей, а R1 и R2 - их радиусы. Так как касательные перпендикулярны друг другу, то треугольник ВО1К и треугольник ВО2С - прямоугольные.

Таким образом, ВО1 = R1, ВО2 = R2, ВК = R1, ВС = R2.

Из прямоугольных треугольников ВО1К и ВО2С получаем, что ВК^2 + ВО1^2 = ВО2^2 и ВС^2 + ВО2^2 = ВО1^2.

Так как ВК = R1, ВО1 = R2, ВС = R2, ВО2 = R1, подставляем это в уравнения:

R1^2 + R1^2 = R2^2 и R2^2 + R2^2 = R1^2.

Отсюда получаем, что R1 = R2. Таким образом, окружности равны.

Пусть радиус окружности R, тогда ВО1 = ВО2 = R.

Теперь рассмотрим треугольник САВ. По теореме Пифагора:

(СА)^2 = (СВ)^2 + (ВА)^2, 8^2 = R^2 + (ВА)^2, 64 = R^2 + (ВА)^2.

Теперь рассмотрим треугольник КАВ:

(КА)^2 = (КВ)^2 + (ВА)^2, 18^2 = R^2 + (ВА)^2, 324 = R^2 + (ВА)^2.

Вычитаем первое уравнение из второго:

324 - 64 = 2R^2, 260 = 2R^2, R^2 = 130.

Теперь подставляем R^2 в первое уравнение:

64 = 130 + (ВА)^2, (ВА)^2 = 64 - 130, (ВА)^2 = -66, ВА = √66.

Таким образом, длина хорды АВ равна √66.