Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведены касательные к каждой из окружностей, вторично пересекающие их в точках C и K. Найдите длину хорды AB, если CA=8, KA=18 и касательные перпендикулярны друг другу.

Пусть O1 и O2 - центры окружностей, а R1 и R2 - их радиусы. Так как касательные перпендикулярны друг другу, то треугольник BCK - прямоугольный.

Так как CA=8 и KA=18, то BC=R1 и BK=R2. Также из прямоугольности треугольника BCK следует, что AB=√(BC^2 + BK^2).

Таким образом, AB=√(R1^2 + R2^2).

Из теоремы Пифагора для треугольника O1CB и O2KB получаем: R1^2 + R2^2 = CO1^2 + BO1^2 + CO2^2 + BO2^2.

Так как CO1=CO2=R1 и BO1=BO2=R2, то R1^2 + R2^2 = 2R1^2 + 2R2^2 = 2(R1^2 + R2^2).

Отсюда AB=√(2(R1^2 + R2^2))=√(2*(R1^2 + R2^2))=√(2CO1^2 + 2CO2^2)=√(28^2 + 218^2)=√(264 + 2324)=√(128 + 648)=√776=28.

Итак, длина хорды AB равна 28.