Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведены касательные к каждой из окружностей, вторично пересекающие их в точках C и K. Найдите длину хорды AB, если CA=90, KA=10 и касательные перпендикулярны друг другу.

Пусть O1 и O2 - центры окружностей, а R1 и R2 - их радиусы. Так как касательные перпендикулярны друг другу, то треугольник O1CB и треугольник O2KB подобны.

Из подобия треугольников получаем: O1C/O2K = CB/KB = R1/R2

Так как CA = 90 и KA = 10, то CB = 90 - R1 и KB = 10 - R2. Подставляем это в полученное выражение: (90 - R1)/(10 - R2) = R1/R2

Отсюда получаем уравнение: 90R2 - 10R2 = 10R1 - R1R2 80R2 = 10R1 - R1R2 8R2 = R1(10 - R2)

Так как R1 и R2 - радиусы окружностей, то R1 > R2. Пусть R1 = x, R2 = y. Тогда уравнение примет вид: 8y = x(10 - y)

Так как CA = 90, то R1 = x = 90. Подставляем это в уравнение: 8y = 90(10 - y) 8y = 900 - 90y 98y = 900 y = 900/98 y = 450/49

Теперь находим x: x = 10y/(8 + y) x = 10 * 450/49 / (8 + 450/49) x = 4500/49 / (392/49 + 450/49) x = 4500/49 / 842/49 x = 4500/842 x ≈ 5.34

Итак, длина хорды AB равна 2x: AB = 2 * 5.34 ≈ 10.68.