Докажите, пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто.

Пусть дано конечное количество открытых множеств $U_1, U_2, ..., U_n$. Чтобы доказать, что их пересечение также открыто, рассмотрим произвольную точку $x$ из этого пересечения.

Так как $x$ принадлежит каждому из открытых множеств $U_1, U_2, ..., U_n$, существует окрестность $V_1, V_2, ..., V_n$ каждой из этих точек такая, что $V_i \subset U_i$ для всех $i = 1, 2, ..., n$.

Тогда окрестность $V = V_1 \cap V_2 \cap ... \cap V_n$ содержит точку $x$ и является подмножеством пересечения $U_1 \cap U_2 \cap ... \cap U_n$. Поскольку $V$ также является открытым множеством (как пересечение конечного числа открытых множеств), это означает, что пересечение $U_1 \cap U_2 \cap ... \cap U_n$ открыто.

Таким образом, пересечение любого конечного числа открытых множеств также является открытым.