Доказать следующие свойства определителя 3-го порядка, используя его определение: а) если строки матрицы сделать столбцами с теми же номерами, то определитель не изменится; б) если все элементы некоторой строки умножить на одно и то же число λ, то определитель умножится на это число; в) если переставить две строки определителя, то он изменит знак; в частности, если две строки определителя равны, то он равен нулю

а) Для доказательства данного свойства рассмотрим определитель матрицы A размером 3x3:

| a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 | | a31 a32 a33 |

Его определитель равен a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32.

Если строки матрицы A сделать столбцами с теми же номерами, то получим матрицу B:

| a11 a21 a31 | | a12 a22 a32 | | a13 a23 a33 |

Определитель матрицы B равен a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a31a22a13 - a21a12a33 - a11a32a23.

Сравнивая определители матриц A и B, видим, что они равны. Следовательно, определитель не изменится при замене строк на столбцы.

б) Пусть все элементы некоторой строки матрицы умножаются на число λ. Тогда новая матрица будет иметь вид:

| a11 a12 a13 | | λa21 λa22 λa23 | | a31 a32 a33 |

Определитель новой матрицы равен a11λa33 + a12λa31 + a13λa32 - a13λa31 - a12λa33 - a11λa32 = λ*(a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32).

Таким образом, определитель умножается на число λ.

в) При перестановке двух строк определитель меняет знак. Рассмотрим две матрицы A и B, где строки i и j поменялись местами:

| a11 a12 a13 | | a21 a22 a23 | | a31 a32 a33 |

| a11 a12 a13 | | a31 a32 a33 | | a21 a22 a23 |

Определитель матрицы A равен a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32.

Определитель матрицы B равен a11a32a23 + a12a33a21 + a13a31a22 - a13a32a21 - a12a31a23 - a11a33a22.

Сравнивая определители матриц A и B, видим, что они отличаются знаком. Следовательно, при перестановке двух строк определитель меняет знак.

Если две строки матрицы равны, то определитель равен нулю, так как в этом случае строки линейно зависимы, и определитель вырожден.