Доказать следующие свойства определителя 3-го порядка, используя его определение: а) если строки матрицы сделать столбцами с теми же номерами, то определитель не изменится; б) если все элементы некоторой строки умножить на одно и то же число λ, то определитель умножится на это число; в) если переставить две строки определителя, то он изменит знак; в частности, если две строки определителя равны, то он равен нулю

а) Пусть дан определитель матрицы $A$ размером $3 \times 3$. Обозначим его элементы как $a_{ij}$. Тогда определитель матрицы, где строки матрицы $A$ становятся столбцами с теми же номерами, можно записать как:

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$$

Это равно определителю исходной матрицы $A$, так как определитель матрицы не зависит от порядка элементов в строках или столбцах.

б) Пусть все элементы некоторой строки матрицы $A$ умножены на число $\lambda$. Тогда новая матрица будет иметь вид:

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \lambda a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$$

Так как определитель матрицы равен сумме произведений элементов по всем перестановкам, то после умножения элементов строки на $\lambda$ определитель умножится на $\lambda$.

в) При перестановке двух строк матрицы меняется знак определителя. Действительно, если поменять местами две строки матрицы, то при разложении определителя по этим строкам знаки всех членов будут изменены на противоположные. Таким образом, определитель изменит знак.

Если две строки матрицы равны, то определитель будет равен нулю, так как при разложении определителя по этим строкам все члены будут равны между собой и знаки будут противоположными, что приведет к результату равному нулю.