Доказать, что при любых действительных а, b и отрицательном с корни уравнения (x-а)(x-b)+с = 0 действительны и различны.

Для начала раскроем скобки в уравнении:

(x - a)(x - b) + c = x^2 - bx - ax + ab + c = x^2 - (a + b)x + ab + c

Теперь подставим полученное выражение в уравнение (x-а)(x-b)+с = 0:

x^2 - (a + b)x + ab + c = 0

Дискриминант этого уравнения равен:

D = (a + b)^2 - 4(ab + c) = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab - 4c = a^2 - 2ab + b^2 - 4c = (a - b)^2 - 4c

Так как с < 0, то 4c > 0, следовательно D > (a - b)^2, то есть дискриминант положителен.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня, которые будут различными, так как дискриминант положителен.