Для заданных векторов x и e_i найдите ортогональную проекцию x на линейное пространство, порожденное e_i, а также расстояние от x до линейной оболочки e_i : x = \left( \begin{array}{llllllllll} -7 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) e_1= \left( \begin{array}{llllllllll} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) e_2= \left( \begin{array}{llllllllll} -5 \\ -5 \\ 0 \end{array}\right)

Для начала найдем ортогональную проекцию вектора x на линейное пространство, порожденное вектором e_i.

Для вектора e_1: e_1 = \left(\begin{array}{llllllllll} 1 \ 4 \ 3 \end{array}\right)

Для нахождения проекции вектора x на линейное пространство, порожденное вектором e_1, воспользуемся формулой:

proj_{e_1}(x) = \frac{x \cdot e_1}{||e_1||^2} \cdot e_1

где x \cdot e_1 - скалярное произведение векторов x и e_1, ||e_1|| - длина вектора e_1.

Вычислим сначала скалярное произведение x и e_1: x \cdot e_1 = (-7)(1) + (2)(4) + (0)(3) = -7 + 8 + 0 = 1

Теперь найдем длину вектора e_1: ||e_1|| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}

Теперь можем найти проекцию вектора x на линейное пространство, порожденное вектором e_1: proj_{e_1}(x) = \frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{llllllllll} 1 \ 4 \ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{llllllllll} \frac{1}{26} \ \frac{4}{26} \ \frac{3}{26} \end{array}\right)

Для вектора e_2: e_2 = \left(\begin{array}{llllllllll} -5 \ -5 \ 0 \end{array}\right)

Аналогично, найдем проекцию вектора x на линейное пространство, порожденное вектором e_2: proj_{e_2}(x) = \frac{x \cdot e_2}{||e_2||^2} \cdot e_2

Вычислим сначала скалярное произведение x и e_2: x \cdot e_2 = (-7)(-5) + (2)(-5) + (0)(0) = 35 - 10 + 0 = 25

Теперь найдем длину вектора e_2: ||e_2|| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

Теперь можем найти проекцию вектора x на линейное пространство, порожденное вектором e_2: proj_{e_2}(x) = \frac{25}{50} \cdot \left(\begin{array}{llllllllll} -5 \ -5 \ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{llllllllll} -2.5 \ -2.5 \ 0 \end{array}\right)

Теперь найдем расстояние от вектора x до линейной оболочки, порожденной вектором e_i. Для этого вычислим длину вектора разности между x и его проекцией на данное линейное пространство:

d = ||x - proj_{e_i}(x)||

Для e_1: d_1 = ||\left(\begin{array}{llllllllll} -7 \ 2 \ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{llllllllll} \frac{1}{26} \ \frac{4}{26} \ \frac{3}{26} \end{array}\right)|| = ||\left(\begin{array}{llllllllll} -\frac{183}{26} \ -\frac{2}{26} \ -\frac{3}{26} \end{array}\right)|| = \sqrt{(-\frac{183}{26})^2 + (-\frac{2}{26})^2 + (-\frac{3}{26})^2} = \sqrt{\frac{33694}{676}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}

Для e_2: d_2 = ||\left(\begin{array}{llllllllll} -7 \ 2 \ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{llllllllll} -2.5 \ -2.5 \ 0 \end{array}\right)|| = ||\left(\begin{array}{llllllllll} -4.5 \ 4.5 \ 0 \end{array}\right)|| = \sqrt{(-4.5)^2 + 4.5^2} = \sqrt{20.25 + 20.25} = \sqrt{40.5} = 3\sqrt{2}

Итак, ортогональная проекция вектора x на линейное пространство, порожденное e_1, равна \left(\begin{array}{llllllllll} \frac{1}{26} \ \frac{4}{26} \ \frac{3}{26} \end{array}\right), а расстояние от x до линейной оболочки e_1 равно 5\sqrt{2}.

Ортогональная проекция вектора x на линейное пространство, порожденное e_2, равна \left(\begin{array}{llllllllll} -2.5 \ -2.5 \ 0 \end{array}\right), а расстояние от x до линейной оболочки e_2 равно 3\sqrt{2}.