Для скольких пар (p;q), образованных целыми числами , ввполняется неравенство p²+q²<2(p+3q)? Пары, отличающиеся порядком элементов, считаются различными.

Рассмотрим данное неравенство:

p² + q² < 2(p + 3q)

Разложим его на два неравенства:

1. p² - 2p + q² - 6q < 0

2. p² - 2p + q² - 6q > 0

3. можно переписать в виде:

(p - 1)² + (q - 3)² < 10

Это неравенство задает круг с центром в точке (1, 3) и радиусом sqrt(10).

2. можно переписать в виде:

(p - 1)² + (q - 3)² > 10

Это неравенство задает круг с центром в точке (1, 3) и радиусом sqrt(10), но без границы.

Теперь рассмотрим, сколько целочисленных точек находятся внутри круга из неравенства 1).

Для этого посчитаем количество точек внутри круга с центром в (1, 3) и радиусом sqrt(10).

Точки внутри круга с центром в (1, 3) и радиусом sqrt(10) будут иметь целочисленные координаты, если расстояние от центра к точке меньше радиуса. То есть, если (p - 1)² + (q - 3)² < 10.

Подсчитаем количество таких точек.