Дано: ABCD — ромб, AB∩плоскость α=A, AC∩BD=O, BM=MC. Доказать: OM∩плоскость α.

Доказательство:

1. Так как ABCD — ромб, то все его стороны равны между собой. Таким образом, AM=MB и AM=MC.

2. Поскольку AC∩BD=O, то O — центр ромба ABCD. Следовательно, OM — медиана треугольника AMC.

3. Так как BM=MC и AM=MC, то треугольник AMC равнобедренный.

4. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, делит его на две равные части. Следовательно, OM делит треугольник AMC на две равные части.

5. Поскольку OM делит треугольник AMC на две равные части, то OM лежит в плоскости α.

Таким образом, доказано, что OM лежит в плоскости α.