Даны вершины параллелограмма А(1;-2;2), В(1;4;0), С(-4;1;1). Найти координаты ТОЧКИ D и угол между диагоналями параллелограмма АС и BD.

Для начала найдем координаты точки D, которая является четвертой вершиной параллелограмма.

Так как AC и BD - диагонали параллелограмма, то их точка пересечения является серединой отрезка между вершинами параллелограмма. То есть координаты точки D будут равны среднему арифметическому координат вершин A и C:

D(x, y, z) = ((1 - 4)/2; (-2 + 1)/2; (2 + 1)/2) = (-1.5; -0.5; 1.5)

Теперь найдем угол между диагоналями параллелограмма AC и BD. Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами:

cos(угол) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)

где AB и BC - векторы, соединяющие вершины параллелограмма.

AB = B - A = (1 - 1; 4 - (-2); 0 - 2) = (0; 6; -2) BC = C - B = (-4 - 1; 1 - 4; 1 - 0) = (-5; -3; 1)

|AB| = √(0^2 + 6^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10 |BC| = √((-5)^2 + (-3)^2 + 1^2) = √(25 + 9 + 1) = √35

AB * BC = 0*(-5) + 6*(-3) + (-2)*1 = -18

cos(угол) = -18 / (2√10 * √35) = -18 / (2√(10*35)) = -18 / (2√350) = -9 / √350

угол = arccos(-9 / √350) ≈ 107.66°

Итак, координаты точки D равны (-1.5; -0.5; 1.5), а угол между диагоналями параллелограмма AC и BD составляет примерно 107.66 градусов.