Даны различные действительные числа a и b такие,что числа a^3+ b и a + b^3 являются положительными рациональными. Докажите,что Если число a/b является рациональным,то a и b — рациональные числа.

Предположим, что a/b — рациональное число, т.е. a/b = p/q, где p и q — целые числа, q ≠ 0. Тогда a = p/q * b.

Так как a^3 + b > 0, то (p/q * b)^3 + b > 0, откуда получаем p^3 * b^3/q^3 + b > 0, b(p^3/q^3 + 1) > 0. Так как b > 0, то p^3/q^3 + 1 > 0, откуда p^3/q^3 > -1, p^3 > -q^3.

Аналогично, из условия a + b^3 > 0 получаем a + (p/q * b)^3 > 0, откуда a + p^3 * b^3/q^3 > 0, aq^3 + p^3b^3 > 0, q^3a + p^3b^3 > 0, q^3a > -p^3b^3, qa > -pb^3.

Из полученных неравенств видно, что p^3 > -q^3 и q^3 > -p^3, что возможно только если p = 0. Таким образом, a = 0 и a/b = 0, что противоречит условию, что a/b — рациональное число. Следовательно, наше предположение неверно, и числа a и b являются рациональными числами.