Даны a, b > 0. Точки пересечения прямых y=ax+a, y=ax+b, y=bx+a и y=bx+b образуют четырехугольник. Точка пересечения диагоналей этого четырехугольника имеет ординату, равную 20. Найдите максимальную из ординат этого четырехугольника.

Из условия задачи имеем:

1. y = ax + a
2. y = ax + b
3. y = bx + a
4. y = bx + b

Найдем точки пересечения прямых:

1. ax + a = ax + b => a = b
2. ax + a = bx + a => x = 0
3. bx + a = bx + b => a = b
4. bx + a = bx + b => x = 0

Таким образом, точки пересечения прямых имеют координаты (0, a), (0, b), (a, 0) и (b, 0).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки (0, a) и (b, 0): y = -ax + a

Точка пересечения этой прямой с прямой y = bx + b: -bx + a = bx + b 2bx = a - b x = (a - b) / 2b y = -a(a - b) / 2b + a = (a^2 + b^2) / 2b

Таким образом, ордината точки пересечения диагоналей четырехугольника равна (a^2 + b^2) / 2b = 20.

Для максимальной ординаты четырехугольника найдем производную ординаты точки пересечения диагоналей по переменной b и приравняем ее к нулю: d/dx ((a^2 + b^2) / 2b) = 0 2b - (a^2 + b^2) / b^2 = 0 2b^3 - a^2 - b^2 = 0 b^3 - a^2 / 2 = 0 b^3 = a^2 / 2 b = (a^2 / 2)^(1/3)

Таким образом, максимальная ордината четырехугольника равна (a^2 + (a^2 / 2)^(2/3)) / 2 * (a^2 / 2)^(1/3).