дана окружность ω с центром O. Точки M и N — соответственно середины радиусов OA и OB окружности ω. На окружности ω выбраны точки E и F так, что хорда EF проходит через точки M и N. Найдите отношение радиуса окружности ω у длине хорды EF, если известно, что EF : MN = 8.В ответ запишите квадрат этого отношения

Пусть радиус окружности ω равен r, а длина хорды EF равна 8x. Тогда длина отрезка MN равна 2r.

Так как хорда EF проходит через точки M и N, то треугольник OME подобен треугольнику ONF, так как у них соответственные углы равны (угол OME равен углу ONF, так как оба равны углу MON, который является вертикальным углом к углу EON).

Следовательно, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению сторон в треугольниках OME и ONF, то есть отношение r к 8x равно 2r к 2r, или r/8x = 2r/2r.

Отсюда получаем, что x = 4. Тогда отношение радиуса к длине хорды равно r/8x = r/32.

Квадрат этого отношения равен (r/32)^2 = r^2 / 1024.

Ответ: 1024.