Дана окружность W с центром O. Точки M и N — соответственно середины радиусов OA и ON окружности w. На окружности w выбраны точки E и F так, что хорда EF проходит через точки M и N. Найдите отношение радиуса окружности w к длине хорды EF, если известно, что EF:MN = 8. В ответ запишите квадрат этого отношения.

Пусть радиус окружности w равен r, а длина хорды EF равна l.

Так как точки M и N являются серединами радиусов, то OM = MA = r/2 и ON = NA = r/2.

Также из условия задачи известно, что EF:MN = 8, то есть l:(r/2) = 8, откуда l = 4r.

Теперь рассмотрим треугольник OEF. По теореме Пифагора:

OE^2 = OF^2 = EF^2 + r^2.

Так как EF = l = 4r, то получаем:

r^2 = (4r)^2 - r^2,

r^2 = 16r^2 - r^2,

r^2 = 15r^2,

r = sqrt(15)r.

Теперь найдем отношение радиуса к длине хорды:

r:l = sqrt(15)r:4r = sqrt(15):4.

Квадрат этого отношения равен (sqrt(15):4)^2 = 15/16.

Ответ: 15/16.