Дана окружность w с центром O. Точки M и N - соответственно середины радиусов OA и OB окружности w. На окружности w выбраны точки E и F так, что хорда EF проходит через точки M и N. Найдите отношение радиуса окружности w к длине хорды EF , если известно, что EF : MN = 4. В ответ запишите квадрат этого отношения

Поскольку точки M и N являются серединами радиусов, то MN параллельна EF и равна половине длины EF. Таким образом, отношение длины хорды EF к длине MN равно 4, откуда получаем, что длина MN равна EF / 8.

Пусть радиус окружности w равен R, а длина хорды EF равна l. Тогда по теореме о касательных к окружности, получаем, что MN^2 = MO * NO = R^2 - (l/2)^2.

Так как MN = l / 8, то получаем уравнение:

(l / 8) ^ 2 = R^2 - (l / 2) ^ 2

l^2 / 64 = R^2 - l^2 / 4

5l^2 / 64 = R^2

Отношение радиуса окружности w к длине хорды EF равно R / l = sqrt(5/64).

Квадрат этого отношения равен 5/64.

Ответ: 5/64.